Cho đa thức \(P\left(x\right)\) có bậc 8 thỏa mãn \(P\left(1\right)=P\left(-1\right)\) ; \(P\left(2\right)=P\left(-2\right)\);\(P\left(3\right)=P\left(-3\right)\) và \(P\left(4\right)=P\left(-4\right)\). Chứng minh rằng \(P\left(x\right)=P\left(-x\right)\) với mọi \(x\).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét đa thức bậc 8: \(P\left(x\right)=x^8+\dfrac{x^3-x}{2}\)
Ta có, \(P\left(x\right)-P\left(-x\right)=x^8+\dfrac{x^3-x}{2}-\left(-x\right)^8-\dfrac{\left(-x\right)^3-\left(-x\right)}{2}=x^3-x\)
Thay \(x=1;2;3;4\) đều thỏa mãn
\(\Rightarrow P\left(5\right)-P\left(-5\right)=5^3-5=120\)
Đặt \(H\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x^2+2\right)\)
\(\Rightarrow H\left(1\right)=H\left(3\right)=H\left(5\right)=0\)
\(\Rightarrow H\left(x\right)\) có 3 nghiệm 1; 3; 5
\(\Rightarrow H\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=H\left(x\right)+x^2+2=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)+x^2+2\)
\(\Rightarrow P\left(-2\right)+7P\left(6\right)=-105\left(-2-a\right)+4+2+7\left[15\left(6-a\right)+36+2\right]=1112\)
Đặt \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-3x-2\)
\(\Rightarrow Q\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(x=\left\{1;2;4\right\}\)
Do \(P\left(x\right)\) bậc 4 và có hệ số cao nhất bằng 1 \(\Rightarrow Q\left(x\right)\) cũng là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng 1
\(\Rightarrow Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-x_0\right)\) với \(x_0\in R\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=Q\left(x\right)+3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-x_0\right)+3x+2\)
\(\Rightarrow P\left(5\right)=12\left(5-x_0\right)+17\) ; \(P\left(-1\right)=-30\left(-1-x_0\right)-1\)
\(\Rightarrow S=60\left(5-x_0\right)+85-60\left(-1-x_0\right)-2=443\)
Cám ơn thầy ạ, em xin phép gửi đến thầy đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 của thành phố Hà Nội vừa thi xong thầy ạ
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)-x-1\Rightarrow g\left(2\right)=g\left(3\right)=g\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) có 3 nghiệm 2;3;4
\(\Rightarrow g\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)+x+1=a\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+x+1\)
\(f\left(5\right)=10\Rightarrow a\left(5-2\right)\left(5-3\right)\left(5-4\right)+5+1=10\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+x+1\)
\(\Rightarrow f\left(6\right)=\dfrac{2}{3}.4.3.2+6+1=...\)
1. Để tìm các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện P(2014) = 2046 và P(x) = P(x^2 + 1) - 33 + 32, ∀x ≥ 0, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Vì không có thông tin về bậc của đa thức, chúng ta sẽ giả sử nó là một hằng số n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho đa thức P(x). Với bậc n đã xác định, ta có: P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2014 vào biểu thức và giải phương trình: P(2014) = a_n * (2014)^n + a_{n-1} * (2014)^{n-1} + ... + a_0 = 2046 Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): P(x) = P(x^2+1)-33+32 Áp dụng công thức này lặp lại cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng. 2. Để tìm các đa thức P(x) ∈ Z[x] bậc n thỏa mãn điều kiện [P(2x)]^2 = 16P(x^2), ∀x ∈ R, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy tương tự như trên. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Giả sử bậc của P(x) là n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho P(x): P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2x vào biểu thức và giải phương trình: [P(2x)]^2 = (a_n * (2x)^n + a_{n-1} * (2x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): [P(4x)]^2 = (a_n * (4x)^n + a_{n-1} * (4x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Lặp lại quá trình này cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng.